一个 随机过程 是一种数学实体，用于表示在概率规律而非确定性规则支配下系统随时间演化的模型。与单一随机变量不同，我们将其基本定义为一组以时间为索引的随机变量 $\{X_n : n \in T\}$。本课重点讨论 简单随机游走（SRW）——一种离散时间模型，模拟赌徒的财富变化，从初始值（$a$）开始，并通过一系列独立投注逐步推进。
1. 简单随机游走的机制
我们将时间 $n$ 时游走的状态表示为一系列独立增量的和：
$$X_n = a + Z_1 + Z_2 + \dots + Z_n$$
其中每个 $Z_i$ 表示一次投注的结果：以概率 $p$ 获胜（$+1$），以概率 $q = 1-p$ 失败（$-1$）。
设 $\{X_n\}$ 为一个简单随机游走。若整数 $k$ 满足 $-n \leq k \leq n$ 且 $n + k$ 为偶数，则经过 $n$ 步后处于状态 $a+k$ 的概率为：
$$P(X_n = a+k) = \binom{n}{\frac{n+k}{2}} p^{(n+k)/2} q^{(n-k)/2}$$
关键陷阱： 对于所有其他 $k$ 值（即 $n+k$ 为奇数或 $|k| > n$），有 $P(X_n = a + k) = 0$。此「奇偶性检查」确保你只能到达基于步数限制的特定状态。
2. 期望与公平性
该过程的平均轨迹取决于概率 $p$。时间 $n$ 时的期望值为：
$E(X_n) = a + n(2p - 1)$
- 公平游戏（$p = 1/2$）： 该过程是一个 鞅。平均而言，财富保持不变：$E(X_{n+1} - X_n | X_n) = 0$。
- 次公平游戏（$p < 1/2$）： 该过程向下漂移，趋向破产。
- 超公平游戏（$p > 1/2$）： 该过程向上漂移。
3. 更广阔的图景
尽管简单随机游走处理的是离散求和，但随机过程也涵盖连续模型。例如， 泊松过程 ($N_t$) 具有独立增量，其概率为 $P(N_t = k) = e^{-at} \frac{(at)^k}{k!}$。这些动态也出现在马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）采样的目标分布中，如 $f(y) = e^{-y^4}(1+|y|)^3$。这些过程常使用如 $v_1 = v_0 A$ 的转移记号。